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m進記数法とn進記数法の両方で0と1だけで表記される非負整数。特にm=10について。

 これを見て、備忘録を作ろうと思った。

 

めんどくさいからこの記事では、二進記数法を「2進」と省略して書くことにしよう。

そして、(2進)11010というように、(2進)をつけたら続く数が2進に従うとしよう。

もちろん、2以外の基数に対してもこのルールを同様に適用して書くことにしよう。

 

10進と2進

2進では、全ての数が0と1だけで表記される。

だから、全ての非負整数は2進において0と1だけで表記される。

10進で0と1だけで表記される数は容易に列挙可能である。

10進 2進
0 0
1 1
10 1010
11 1011

 

10進と3進

3進では、0と1以外に2を使って数を表記する。

だから、「10進と3進の両方で0と1だけで表記される整数」の自明な列挙が困難である。

困難とはいえ、総当たりで計算すれば小さい数を確かめることは可能だ。

11110101010011

10進 3進
0 0
1 1
10 101
111 11010
1000 1101001
1011 1101110
11110101001101 1110100010010001010001011000
11110101001110 1110100010010001010001011100
11110101001111 1110100010010001010001011101
11110101010011 1110100010010001010111101000
11110101010101 1110100010010001010111111100

1110100010010001010001011000は下のリンクで確認できると思う。ちょっと特殊な入力が必要。

www.wolframalpha.com

さて、

ある数Nを10進数で表しても8進数で表しても各桁が0と1だけになることはあるか?